奇妙的分形世界 周鸣扬 2001年 43期 在大家儿时的记忆里，恐怕都少不了这样一个老掉牙的故事： 　　从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚，老和尚在给小和尚讲一个故事： 　　从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚，老和尚在给小和尚讲一个故事： 　　…… 　　#1分形的艺术 　　或许这个故事在博得人们一笑后，便什么印象也没有了。然而，就是在这些看似平凡的生活之中，蕴含了软件学里一个递归的典型，由此引申出来的，就是我们今天的主角──分形技术（Fractal）。在开始介绍分形之前，让我们先来看看下面的两幅画： 　　^43020101a^1是一幅典型的“国画”──树，^43020101b^2是常见的鸡冠花的花冠图形。这两幅画是由计算机自动绘制出来的，关键代码不到20行，且这两幅画是用同一个程序绘制出来的，只是改了些参数！另外，由这个程序还可以生出无穷的令你想不到的奇妙图案！可能你会迫不急待地问，这个程序是怎么写出来的？别慌，先仔细观看两幅画的共同特征。 　　在图1中，每枝树枝按一定角度旋转之后，其外形也和整棵树的外形一样；在图2中，从加框的部分可以看出放大后，实际上就是整个图形。自然界中许多事物与此类似，它们具有相似的“层次”结构，适当放大或缩小几何尺寸，整个结构并不改变。我们把具有这种特征的图形称之为“分形图”。 　　#1什么是分形 　　分形理论是一种非常深刻、有价值、让人着迷的理论。它诞生于70年代中期，其创始人是美国IBM的研究人员芒德勃罗（B.B.Mandelbrot）。分形一词具有极强的概括力和解释力。 　　就目前情况而言，在学科定位上，分形研究属于非线性科学。分形指具有多重自相似的对象，它可以是自然存在的，也可以是人造的。花菜、树木、山川、云朵、脑电图、材料断口等都是典型的分形。 　　分形理论属于交叉性的横断学科，从振动力学到流体力学、天文学和计算机图形学，从分子生物学到生理学、生物形态学，从材料科学到地球科学、地理科学，从经济学到语言学、社会学等等，无不闪现着分形的身影。分形理论已经对方法论和自然观产生强烈影响。从分形的观点看世界，我们发现，这个世界是以分形的方式存在和演化着的世界。 　　#1分形有什么用 　　或许有朋友会问：“分形有何用？”。是的，分形作为一个新兴的基础理论有待于开发它的实用价值，而且分形的实用是分形理论得以普及的重要一步。 　　著名的卢卡斯电影公司，在利用分形方法创造出与众不同的景观方面已做了一些开拓性的工作。这体现在影片《杰蒂的轮回》剧情中，以及《星际旅程Ⅱ：可汗的愤怒》中的许多分形风景画上，其中最著名的是行星起源的演变序列图。而由理查德·沃斯在计算机上制作的分形山已被IBM公司广泛地应用于宣传广告中。不仅如此，根据分形理论设计的明信片、年历、贺年卡、招贴画甚至T恤衫并不鲜见。在学术界，许多世界性刊物如《美国科学家》、《科学》、《自然》、《今日物理》、《研究与发展》、《科学美国人》以及《非线性》等杂志的封面上或一些著作的封面上都出现过分形图案……总之，分形图形的错综复杂使它美丽和富于表现，不仅唤起科学世界的想象力，同时也使人感受到它们与真实世界之间深奥的关系。 　　分形实用不应仅限于分形艺术上，作为一个全新的理论和方法，它可以应用在人类生活的许多领域。 　　#1分形的计算机应用 　　分形高度复杂，又特别简单。无穷精致的细节和独特的数学特征是分形复杂的一面。连续不断从大尺寸到小尺寸地自我复制及迭代操作生成，又是分形简单的一面，这就是分形的自我相似性，分形的精髓就是无限自相似性。 　　在计算机图形处理中生成分形的图片有多种方式，其中最为常用的就是通过递归来实现。就如同本文开篇时所讲的那个故事一样，这个看起来是不可能找到结果的故事正好印证了“递归”的特点：函数自己调用自己。只不过在递归函数中一定得加上if语句，在条件满足之后让函数返回，否则，函数很可能陷入死循环的泥潭。试想，如果我们自己定义一个函数，该函数能够在指定的位置画出一条直线，只要在下次调用时不断地改变画直线的位置，让函数不停地在不同的位置绘制直线，这样不就能够画出一棵树吗？（当直线短到一定程度时，直线就变成了点，由点自然可以画出树叶。） 　　早在60年代初，有些数学家和程序设计人员就开始利用计算机及绘图设备从事这方面的工作。应该说，在这种情况下，计算机成为了“视觉艺术”的一种新工具，我们可以称之为“计算机艺术”。这些人的努力，积累了大量的成果，并因此出现了今天的Photoshop、CorelDRAW等著名软件。 　　当今时代出现的充满科技含量的“分形艺术”又不同于运用计算机和Photoshop从事艺术创作。分形艺术是纯数学产物，从事分形艺术创作的人要研究产生这些图形的数学算法。这些算法产生的图形是无限的，它们没有结束，你永远不能看见它的全部。你不断放大它们的局部，也许你可能正在发现前人没曾见到过的图案。这些图案可能是非常精彩的。它们与现实世界符合，从浩瀚的宇宙空间到极精致的细节，是完全可以用数学结构来描述的。 　　分形几何冲击着不同的学术领域，它在艺术领域显示出非凡的作用，并被广泛运用在地貌模拟、人工智能、经济分析、多媒体等领域。笔者今天所述的，只是分形的最简单的运用，希望借此文能够起到抛砖引玉的作用，在硬件满天飞的时代唤起大家对分形的重新认识。如果想了解分形的精彩应用，大家可以到http://www.fractal.com.cn那里去看看，这是目前国内少有的专业分形学站点。